Projet 2 : VaR et backtesting, Action UNH
1) Introduction
1.1) Présentation succinte de l’entreprise :
Le ticker “UNH” correspond à UnitedHealth Group Incorporated, une entreprise américaine de premier plan dans le secteur de la santé et de la gestion des soins de santé. Fondée en 1977 et ayant son siège social à Minnetonka, Minnesota, UnitedHealth Group opère à l’échelle nationale et internationale, proposant une vaste gamme de produits et de services liés à la santé.
L’entreprise se distingue par plusieurs activités et filiales clés, notamment UnitedHealthcare, l’un des plus grands fournisseurs d’assurance maladie aux États-Unis, offrant des plans d’assurance pour divers publics, des particuliers aux entreprises et aux programmes publics. Optum, une filiale d’UnitedHealth Group, se concentre sur la gestion des soins de santé, la prestation de services de santé intégrés, la gestion de la pharmacie, les soins de santé virtuels, et les solutions technologiques pour les professionnels de la santé.
OptumRx, une division d’Optum, gère les avantages pharmaceutiques, assurant un accès abordable aux médicaments essentiels. En outre, UnitedHealth Group International étend son influence à l’échelle mondiale en fournissant des produits et services de soins de santé dans plusieurs pays, en travaillant en collaboration avec des gouvernements, des entreprises et des prestataires de soins de santé pour améliorer l’accès aux soins et la qualité des services.
L’engagement fondamental d’UnitedHealth Group est d’améliorer la santé et le bien-être de ses membres et de ses clients, tout en restant à la pointe de l’innovation dans le domaine des soins de santé. L’entreprise joue un rôle de premier plan dans le secteur de la santé aux États-Unis et a une influence significative sur la prestation des soins de santé dans le monde entier.
1.2) Objectif:
La Value-at-Risk est définie comme la perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu’avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné (Manganelli et Engle, 2001).
L’objectif de ce projet est d’estimer la Value at Risk de l’action UnitedHealth Group Incorporated puis par backtesting, nous verifierons que cette estimation est correcte. On considère le cours de l’action observé en clôture sur la période du 04/01/2010 au 03/10/2023. Nous réaliserons une estimation entre le 04 janvier 2010 et le 03 janvier 2018. Et nous réaliserons le backtesting du 04 janvier 2018 au 03 novembre 2023.
Une liste de définition concernant les tests statisques et les modèles utilisés sont donnée dans l’annexe.
Dans le projet précédent nous avions obtenue ces caractéristiques pour la série \(r_{te}\) et \(r_{tt}\).
| Caractéristiques | \(r_{te}\) | \(r_{tt}\) |
|---|---|---|
| Asymétrie perte/gain | Non | Non |
| Queues de distribution épaisses | Oui | Oui |
| Autocorrélations des carrées des rendements | Oui | Oui |
| Clusters de volatilité | Oui | Oui |
| Queues épaisses conditionnelles | Oui | Oui |
| Effets de levier | Oui | Oui |
| Saisonnalité | Oui | Oui |
| Stationnarité | Oui | Oui |
Tableau récapitulatif de \(r_{te}\) et \(r_{tt}\)
1.3) Première analyse de nos données:
La tendance est croissante, passant d’un prix de 25.68513 à la première unité de temps à un prix de 501.14 à la dernière unité de temps. Nous n’observons pas de saisonnalité, et il ne semble pas non plus y avoir d’hétéroscédasticité.
On constate des variations de prix beaucoup plus importantes à partir de 2019, sans doute liées aux différentes crises survenues (Covid, Ukraine,…).
Ici, il n’y a pas de tendance, on observe des fluctuations autour de 0, et celles-ci ne varient pas dans le temps. La variation des prix de notre action n’est pas hétéroscédastique ; on observe des “paquets de volatilité” à partir de 2019/2020 jusqu’à aujourd’hui.
Comme précédemment mentionné, nous constatons que les rendements logarithmiques ne présentent pas de tendance et oscillent autour de 0. La volatilité semble relativement stable dans le temps (donc homoscédastique), bien que cette stabilité puisse être remise en question en raison d’une année 2021 exceptionnelle où les rendements ont affiché des fluctuations très significatives.
Vérifions les moyennes de la variation des prix et des rendements logarithmiques de l’action UNH :
Moyenne empirique : Moyenne des rendements logarithmiques = 0.0008726205 Moyenne des variations de prix = 0.1465953Nous allons maintenant travailler sur la série RTE :
La moyenne empirique de UNH est égale à 0.00103
De manière similaire au chronogramme précédent des rendements logarithmiques complets, nous pouvons constater que pour \(rte\), il n’y a aucune tendance évidente, et les données varient autour de 0. Il est de plus en plus apparent qu’il y ait une homoscédasticité dans ces données.
Pour confirmer si la moyenne empirique, qui est très proche de 0, est statistiquement nulle, nous allons procéder à un test de Student :
\[ H_0 : E(rte_t) = \mu = 0\] versus
\[H_a : E(rte_t) = \mu \ne 0\]
One Sample t-test
data: rte
t = 3.2807, df = 2014, p-value = 0.001053
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.0004157908 0.0016517293
sample estimates:
mean of x
0.00103376 Nous obtenons une p-valeur de 0.001053, ce qui est inférieur à 0.05. Par conséquent, nous rejetons l’hypothèse nulle (\(H_0\)). En conclusion, la moyenne empirique n’est pas statistiquement nulle, ce qui suggère que l’espérance du PGD qui a généré \(rte_t\) n’est pas nulle.
Par la suite, nous allons poursuivre notre analyse sur la série des rendements logarithmiques de RTE. Une analyse détaillée sur \(rtt\) sera également réalisée en annexe.
1.4) Asymétrie perte/gain, queues de distribution épaisses:
Une première observation est que nos données semblent être symétriques et leptokurtiques. Vérifions-les à l’aide des tests d’Agostino et d’Anscombe.
Test d’Agostino :
Un test de l’hypothèse de symétrie consiste à vérifier la nullité de la skewness, qui est égale au moment centré d’ordre 3 normalisé de la distribution. Soit \(\mu_3\), le moment centré d’ordre 3 d’une variable aléatoire : \(\mu_3 = E[(X - \mu)^3]\). Nous souhaitons tester si la skewness est nulle.
Les hypothèses pour ce test sont les suivantes :
\(H_0\) : La skewness de la distribution est nulle, c’est-à-dire } \(\mu_3 = 0\).
\(H_a\) : La skewness de la distribution n’est pas nulle, c’est-à-dire } \(\mu_3 \neq 0\)
D'Agostino skewness test
data: rte
skew = -0.05976, z = -1.09822, p-value = 0.2721
alternative hypothesis: data have a skewnessOn a une p-value = 0.2721 > 0.05 donc \(H_0\) est accepté, la skewness de la distribution est nulle. Notre distribution est donc symétrique
Test d’Anscombe Modifié par Agostino et Zar (Ticket UNH) :
Le test d’Anscombe modifié par Agostino et Zar est utilisé pour vérifier si les rendements suivent une distribution leptokurtique. Les hypothèses pour ce test sont les suivantes :
- \(H_0\) : Les rendements suivent une loi normale centrée réduite (distribution normale)
- \(H_a\) : Les rendements ne suivent pas une loi normale centrée réduite (distribution non normale leptokurtique).
Le test d’Anscombe modifié par Agostino et Zar repose sur la statistique qui suit, sous \(H_0\), une loi normale centrée réduite. Une valeur de kurtosis significativement différente de 3 est utilisée pour déterminer si la distribution est leptokurtique.
Anscombe-Glynn kurtosis test
data: rte
kurt = 6.0314, z = 12.1864, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3Ici, nous avons une valeur de kurtosis (kurt) égale à 6.034, qui est supérieure à 3, et donc significative. Notre distribution est effectivement leptokurtique.
Nos observations préliminaires sont donc confirmées. En fin de compte, nous avons une distribution à la fois symétrique et leptokurtique, ce qui indique une concentration autour de la moyenne et une probabilité accrue d’événements extrêmes (queues épaisses).
2) Estimations des Value at Risk:
2.1) VaR Normale, VaR de Cornish Fisher et VaR Historique:
Dans cette section, nous allons calculer différentes VaR, à savoir la VaR Normale, la VaR modifiée de Cornish Fisher, et la VaR historique.
Le code ci-dessous calcule la VaR normale, historique, et modifiée de Cornish Fisher en utilisant l’estimation de la fenêtre glissante (rolling estimate) pour obtenir des prévisions hors échantillon.
Cette méthode implique d’estimer un modèle avec les T premières observations, puis de faire une prévision pour la date T + 1 et de calculer la VaR. Ensuite, on ré-estime les modèles des dates 2 à T + 1, puis on réalise une prévision pour la date T + 2 et ainsi de suite.
Dans notre cas, nous estimons notre modèle initial sur \(rte\). Nous réalisons une prévision pour NE + 1 et ré-estimons à nouveau sur la période de 2 à NE + 1. Ainsi, nous allons calculer la VaR à 99% quotidienne entre NE + 1 et NT de cette manière.
| Violation Estimée | Violation théorique | PV Kupiec | PV Christoffersen | |
|---|---|---|---|---|
| VaR Normale | 73 | 84 | 0.214205398 | 0.0151087915 |
| VaR Cornish-Fisher | 73 | 102 | 0.001183107 | 0.0004918278 |
| VaR Historique | 73 | 102 | 0.001183107 | 0.0004918278 |
Les définitions des test de Kupiec et de Christoffersen se trouvent ici
Pour la VaR Normale, on constate un taux de violation de 5,7%, équivalent à une sous-évaluation de 70 points. Une p-value de 0,2, supérieure à 0,05, conduit à l’acceptation de l’hypothèse nulle pour le test de Kupiec, indiquant que la VaR est sous-évaluée. Cependant, la p-value inférieure à 0,05 dans le cadre du test de Christoffersen conduit au rejet de l’hypothèse, suggérant que la VaR n’est pas correctement estimée selon ce test.
Pour la VaR modifiée de Cornish-Fisher, un taux de violation de 6,9% est observé, ce qui correspond à une sous-évaluation de 1,9%. Les p-values inférieures à 0,05 pour les tests de Kupiec et de Christoffersen indiquent que la VaR est mal estimée selon ces deux tests.
Les résultats pour la VaR Historique sont identiques à ceux de la VaR CF.
Dans la prochaine section, nous estimerons un modèle afin de calculer la VaR Conditionnelle.
2.2) VaR Conditionnelle :
Dans cette partie, nous allons estimer la VaR du modèle EGARCH(1,1) ~ std : La justification du choix des distributions et des modèles est donnée en annexe.
- Le modèle EGARCH est défini en annexe ici.
- Le modèle est estimé ici.
| Violation Estimée | Violation théorique | PV Kupiec | PV Christoffersen | |
|---|---|---|---|---|
| VaR EGARCH(1,1) ~ std | 91 | 73.4 | 0.041 | 0.047 |
La VaR de notre modèle EGARCH présente un taux de violation de 6,2%. Nous avons donc sous-évalué la VaR de 1,2%. La p-value est inférieure à 0,05 dans le cadre du test de Kupiec. Ainsi, nous rejetons H0, indiquant que la VaR n’est pas bien estimée. De même, la p-value est inférieure à 0,05 dans le cadre du test de Christoffersen, conduisant également au rejet de H0. La VaR n’est donc une fois de plus pas bien estimée selon ce test.
3) Conclusions:
| Violation Théorique | Violation Estimée | PV Kupiec | PV Christoffersen | |
|---|---|---|---|---|
| VaR Normale | 73 | 84 | 0.214205398 | 0.0151087915 |
| VaR Cornish-Fisher | 73 | 102 | 0.001183107 | 0.0004918278 |
| VaR Historique | 73 | 102 | 0.001183107 | 0.0004918278 |
| VaR EGARCH(1,1) ~ std | 73.4 | 91 | 0.041 | 0.047 |
Aucune des VaR valident les deux tests de Kupiec et de Christoffersen. Celle qui a se rapproche le plus de des violations théorique est le VaR Normale.
Une piste de recherche aurait été de répartir \(r_t\) en trois ensembles distincts : un ensemble d’entraînement, un ensemble de validation, et un ensemble de test. Cette approche aurait permis d’estimer plusieurs modèles sur l’ensemble de test, comme démontré ici, d’évaluer plusieurs valeurs à risque (VaR) sur l’ensemble de validation, comme présenté dans la section E) D’autres VaR Conditionnelle :, et enfin de sélectionner le modèle qui aurait donné la meilleure estimation de la VaR sur l’ensemble de validation et le tester sur l’ensemble restant, l’ensemble de test.
Bien que cette méthode soit couramment utilisée en apprentissage supervisé, il serait judicieux de se référer à des articles spécialisés, étant donné que les séries temporelles constituent un type de données particulier pour lequel cette méthodologie pourrait ne pas être parfaitement adaptée.
Annexe:
A) Choix de la distribution:
Cliquez pour revenir à la partie VaR Conditionnelle
Dans cette partie, nous allons estimer plusieurs lois de probabilités sur notre série de rendements. Ensuite, nous sélectionnerons celle qui se rapproche le plus de la série initiale. Comme nous avions montré dans la partie 1.4) Asymétrie perte/gain, queues de distribution épaisses : que nous avions de l’asymétrie dans nos rendements, nous devons ajouter dans notre code d’estimation des différentes distributions l’argument suivant : symmetric = T.
Code
#estimation d'une distribution normale
fitn<-fit.gaussuv(data=rte)
summary(fitn)Gaussian Distribution:
Parameters:
mu sigma
0.00103376 0.01414475
Call:
fit.gaussuv(data = rte)
Optimization information:
log-Likelihood: 5722.039
AIC: -11440.08
Fitted parameters: mu, sigma; (Number: 2)
Number of iterations: 0
Converged: TRUE Code
cat('----------------------------- \n')----------------------------- Code
#estimation student asym ́etrique
fitstu<-fit.tuv(rte,silent=T, symmetric = T)
summary(fitstu)Symmetric Student-t Distribution:
Parameters:
nu mu sigma gamma
3.997807234 0.001052879 0.014582248 0.000000000
Call:
fit.tuv(data = rte, symmetric = T, silent = T)
Optimization information:
log-Likelihood: 5828.616
AIC: -11651.23
Fitted parameters: lambda, mu, sigma; (Number: 3)
Number of iterations: 90
Converged: TRUE Code
cat('----------------------------- \n')----------------------------- Code
#gaussienne inverse asym ́etrique
fitnig<-fit.NIGuv(data=rte,silent=T, symmetric = T)
summary(fitnig)Symmetric Normal Inverse Gaussian Distribution:
Parameters:
alpha.bar mu sigma gamma
0.88717128 0.00104849 0.01417002 0.00000000
Call:
fit.NIGuv(data = rte, symmetric = T, silent = T)
Optimization information:
log-Likelihood: 5831.943
AIC: -11657.89
Fitted parameters: alpha.bar, mu, sigma; (Number: 3)
Number of iterations: 102
Converged: TRUE Code
cat('----------------------------- \n')----------------------------- Code
#hyperbolique asym ́etrique
fithyp<-fit.hypuv(rte,silent=T, symmetric = T)
summary(fithyp)Symmetric Hyperbolic Distribution:
Parameters:
alpha.bar mu sigma gamma
0.57683215 0.00104081 0.01399956 0.00000000
Call:
fit.hypuv(data = rte, symmetric = T, silent = T)
Optimization information:
log-Likelihood: 5830.545
AIC: -11655.09
Fitted parameters: alpha.bar, mu, sigma; (Number: 3)
Number of iterations: 88
Converged: TRUE Code
cat('----------------------------- \n')----------------------------- Code
#hyperbolique g ́en ́eralis ́ee asym ́etrique
fitghypuv<-fit.ghypuv(rte,silent=T, symmetric = T)
summary(fitghypuv)Symmetric Generalized Hyperbolic Distribution:
Parameters:
lambda alpha.bar mu sigma gamma
-0.175802908 0.883842536 0.001048852 0.014144452 0.000000000
Call:
fit.ghypuv(data = rte, symmetric = T, silent = T)
Optimization information:
log-Likelihood: 5832.032
AIC: -11656.06
Fitted parameters: lambda, alpha.bar, mu, sigma; (Number: 4)
Number of iterations: 337
Converged: TRUE Table 4 : Sortie R des différentes estimation
Code
plot(density(rte),
main = graph_name("Estimateur par noyau de la densité des rendements \n et distributions estimées"),
xlab = "")
lines(fitstu,col=2)#student
lines(fitnig,col=3)#estimateur de la densit ́e de rte
lines(fithyp,col=4)
lines(fitghypuv,col = col_theme)
legend("right",legend =c("rte","student","nig","hyp","ghyp"), col = c(1,2,3,4,col_theme),lty=rep(1,5))
On observe que la courbe qui est la plus proche de rte est la Student, puis la NIG, la GHYP, et enfin la HYP. On choisit donc la distribution “std”.
La spécification retenue dans la suite sera donc “std”.
Code
qqnorm(rte, col = col_theme,
main = graph_name("Epaisseur des queues de rte comparé \n à celle de la normale"))
qqline(rte, col = colors_theme[2])
Sur ce graphique, on observe que les queues sont épaisses, avec une queue gauche plus épaisse. Nous utilisons donc la spécification “sstd”, comme énoncé plus haut dans la suite. Dans l’estimation des modèles, si l’un des modèles présente de bonnes caractéristiques dans notre exercice, mais que celui-ci n’a pas la bonne distribution, nous essayerons dans l’ordre énoncé plus haut plusieurs distributions.
B) Estimations des modèles:
Dans cette partie, nous allons estimer différents modèles sur la série de nos rendements. Quand cela n’est pas précisé, l’autocorrélation sera modélisée avec un ARMA(1,1) et la distribution que nous utiliserons sera la Student Asymétrique.
Les définitions de chacun des modèles se retrouvent en annexe dans la partie C) Définitions :
ARCH(1):
Code
jour=format(dates, format = "%A")
mois=format(dates, format = "%B")
moisrte=mois[1:NE]
juillet=as.integer(moisrte=="July")
jourrte=jour[1:NE]
mardi=as.integer(jourrte=="Tuesday")
spec_arch = ugarchspec(mean.model=list(external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model = "std")
fit_arch = ugarchfit(spec = spec_arch, data = rt,out.sample=length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_arch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000980 0.000182 5.37707 0.000000
ar1 0.913756 0.011972 76.32446 0.000000
ma1 -0.950568 0.010793 -88.06928 0.000000
mxreg1 0.000859 0.000637 1.34751 0.177815
mxreg2 -0.000304 0.000681 -0.44625 0.655415
omega 0.000001 0.000002 0.59512 0.551764
alpha1 0.031272 0.007004 4.46471 0.000008
beta1 0.964256 0.005959 161.80711 0.000000
shape 4.869637 0.876271 5.55723 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000980 0.000166 5.913947 0.00000
ar1 0.913756 0.014278 63.998961 0.00000
ma1 -0.950568 0.011295 -84.158549 0.00000
mxreg1 0.000859 0.000652 1.317936 0.18752
mxreg2 -0.000304 0.000635 -0.478920 0.63199
omega 0.000001 0.000013 0.077586 0.93816
alpha1 0.031272 0.047433 0.659298 0.50970
beta1 0.964256 0.040441 23.843251 0.00000
shape 4.869637 5.464296 0.891174 0.37284
LogLikelihood : 5900.846
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8480
Bayes -5.8229
Shibata -5.8480
Hannan-Quinn -5.8388
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.04256 0.8365
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.74457 0.6350
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.69085 0.5256
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.391 0.06556
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.461 0.04003
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.881 0.05318
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.916 0.500 2.000 0.08770
ARCH Lag[5] 5.171 1.440 1.667 0.09379
ARCH Lag[7] 6.218 2.315 1.543 0.12726
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 184.6646
Individual Statistics:
mu 0.03334
ar1 0.05955
ma1 0.03654
mxreg1 0.02931
mxreg2 0.05864
omega 16.99574
alpha1 0.38609
beta1 0.49793
shape 0.41378
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.1 2.32 2.82
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.297 0.7665
Negative Sign Bias 1.394 0.1635
Positive Sign Bias 0.897 0.3698
Joint Effect 2.757 0.4306
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 26.76 0.110446
2 30 28.89 0.471023
3 40 43.78 0.275814
4 50 75.50 0.008887
Elapsed time : 0.24108 Code
spec_arch <- ugarchspec(variance.model = list(garchOrder = c(1,0)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1)), distribution.model = "std")
fit_arch <- ugarchfit(spec = spec_arch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_arch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,0)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001139 0.000151 7.5247 0.0e+00
ar1 0.906925 0.034813 26.0514 0.0e+00
ma1 -0.945138 0.027978 -33.7812 0.0e+00
omega 0.000173 0.000013 13.4529 0.0e+00
alpha1 0.191728 0.048431 3.9588 7.5e-05
shape 4.201572 0.424729 9.8924 0.0e+00
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001139 0.000156 7.3002 0.000000
ar1 0.906925 0.036665 24.7356 0.000000
ma1 -0.945138 0.029321 -32.2341 0.000000
omega 0.000173 0.000016 10.9632 0.000000
alpha1 0.191728 0.051254 3.7407 0.000183
shape 4.201572 0.421726 9.9628 0.000000
LogLikelihood : 5856.502
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8069
Bayes -5.7902
Shibata -5.8070
Hannan-Quinn -5.8008
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.08319 0.7730
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.25142 0.8902
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 5.26917 0.3944
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 1.622 2.028e-01
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 15.789 5.692e-05
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 31.586 1.130e-08
d.o.f=1
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[2] 28.28 0.500 2.000 1.051e-07
ARCH Lag[4] 34.73 1.397 1.611 1.687e-09
ARCH Lag[6] 41.31 2.222 1.500 5.893e-11
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 7.1765
Individual Statistics:
mu 0.05388
ar1 0.06731
ma1 0.04034
omega 6.15794
alpha1 0.50108
shape 3.73508
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.49 1.68 2.12
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.1873 0.8515
Negative Sign Bias 0.4551 0.6491
Positive Sign Bias 0.6424 0.5207
Joint Effect 0.6343 0.8885
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 32.39 0.0282016
2 30 61.31 0.0004229
3 40 58.11 0.0250428
4 50 72.72 0.0155238
Elapsed time : 0.1863332 Les différentes statistiques employées ici se trouvent dans la partie de l’annexe : D) Définitions Test statistiques :
On observe que tous les coefficients sont significatifs, indiquant la présence d’un effet ARCH. Plutôt que d’essayer des degrés plus élevés dans notre modèle ARCH, nous préférerons explorer des modèles tels que le GARCH(1,1).
Robust Standard Errors : Tous les coefficients sont significatifs.
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals : Il n’y a pas d’autocorrélation car toutes les p-values sont supérieures à 0,05 dans le test de Ljung-Box sur les résidus standardisés.
Weighted ARCH LM Tests : Il y a la présence d’un effet ARCH. Nous préférerons plutôt essayer de modéliser nos rendements à l’aide d’un GARCH(1,1) plutôt que d’augmenter m.
Nyblom stability test : La statistique jointe vaut 7.1762, ce qui est supérieur à 1.68, la valeur tabulée à 5%. Ainsi, nos variables ne sont pas stables dans le temps.
Sign Bias Test : Toutes les p-values sont significatives, indiquant qu’il n’y a pas d’effet de signe ni d’effet de taille.
Adjusted Pearsong Goodness-Of-Fit Test : Les p-values sont toutes inférieure à 0.05, on a donc la mauvaise distribution
GARCH(1,1):
Code
spec_garch <- ugarchspec(variance.model = list(garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model = "std")
fit_garch <- ugarchfit(spec = spec_garch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_garch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000980 0.000182 5.37707 0.000000
ar1 0.913756 0.011972 76.32446 0.000000
ma1 -0.950568 0.010793 -88.06928 0.000000
mxreg1 0.000859 0.000637 1.34751 0.177815
mxreg2 -0.000304 0.000681 -0.44625 0.655415
omega 0.000001 0.000002 0.59512 0.551764
alpha1 0.031272 0.007004 4.46471 0.000008
beta1 0.964256 0.005959 161.80711 0.000000
shape 4.869637 0.876271 5.55723 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000980 0.000166 5.913947 0.00000
ar1 0.913756 0.014278 63.998961 0.00000
ma1 -0.950568 0.011295 -84.158549 0.00000
mxreg1 0.000859 0.000652 1.317936 0.18752
mxreg2 -0.000304 0.000635 -0.478920 0.63199
omega 0.000001 0.000013 0.077586 0.93816
alpha1 0.031272 0.047433 0.659298 0.50970
beta1 0.964256 0.040441 23.843251 0.00000
shape 4.869637 5.464296 0.891174 0.37284
LogLikelihood : 5900.846
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8480
Bayes -5.8229
Shibata -5.8480
Hannan-Quinn -5.8388
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.04256 0.8365
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.74457 0.6350
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.69085 0.5256
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.391 0.06556
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.461 0.04003
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.881 0.05318
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.916 0.500 2.000 0.08770
ARCH Lag[5] 5.171 1.440 1.667 0.09379
ARCH Lag[7] 6.218 2.315 1.543 0.12726
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 184.6646
Individual Statistics:
mu 0.03334
ar1 0.05955
ma1 0.03654
mxreg1 0.02931
mxreg2 0.05864
omega 16.99574
alpha1 0.38609
beta1 0.49793
shape 0.41378
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.1 2.32 2.82
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.297 0.7665
Negative Sign Bias 1.394 0.1635
Positive Sign Bias 0.897 0.3698
Joint Effect 2.757 0.4306
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 26.76 0.110446
2 30 28.89 0.471023
3 40 43.78 0.275814
4 50 75.50 0.008887
Elapsed time : 0.3516231 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_garch <- ugarchspec(variance.model = list(garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1)), distribution.model = "std")
fit_garch <- ugarchfit(spec = spec_garch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_garch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001124 0.000090 12.5367 0.000000
ar1 0.913979 0.012297 74.3251 0.000000
ma1 -0.950675 0.010947 -86.8430 0.000000
omega 0.000001 0.000002 0.5397 0.589406
alpha1 0.031067 0.007411 4.1921 0.000028
beta1 0.964703 0.006269 153.8763 0.000000
shape 4.841345 0.908680 5.3279 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001124 0.000093 12.13476 0.00000
ar1 0.913979 0.015363 59.49146 0.00000
ma1 -0.950675 0.012237 -77.68925 0.00000
omega 0.000001 0.000015 0.06528 0.94795
alpha1 0.031067 0.055006 0.56479 0.57222
beta1 0.964703 0.046555 20.72185 0.00000
shape 4.841345 6.251870 0.77438 0.43870
LogLikelihood : 5899.836
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8490
Bayes -5.8295
Shibata -5.8490
Hannan-Quinn -5.8418
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.03644 0.8486
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.77069 0.6185
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.68229 0.5276
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.346 0.06738
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.340 0.04285
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.680 0.05868
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.942 0.500 2.000 0.08629
ARCH Lag[5] 5.084 1.440 1.667 0.09829
ARCH Lag[7] 6.091 2.315 1.543 0.13521
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 188.2772
Individual Statistics:
mu 0.03264
ar1 0.05789
ma1 0.03628
omega 17.62324
alpha1 0.38313
beta1 0.49654
shape 0.41287
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.3016 0.7630
Negative Sign Bias 1.3826 0.1669
Positive Sign Bias 0.8815 0.3782
Joint Effect 2.6978 0.4406
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 27.95 0.084437
2 30 34.19 0.232513
3 40 49.22 0.126498
4 50 78.13 0.005113
Elapsed time : 0.1413851 Le coefficient alpha1 n’est pas significatif, on va donc le retirer.
Code
spec_garch <- ugarchspec(variance.model = list(garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1)), distribution.model = "std",
fixed.pars = list(alpha1 = 0))
fit_garch <- ugarchfit(spec = spec_garch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_garch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001097 0.000154 7.1025 0.000000
ar1 0.901203 0.020007 45.0434 0.000000
ma1 -0.943233 0.017116 -55.1070 0.000000
omega 0.000000 0.000000 2.8204 0.004796
alpha1 0.000000 NA NA NA
beta1 0.998987 0.000021 47222.3594 0.000000
shape 5.320904 0.419595 12.6810 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001097 0.000165 6.65923 0.00000
ar1 0.901203 0.020887 43.14671 0.00000
ma1 -0.943233 0.014159 -66.61654 0.00000
omega 0.000000 0.000000 0.86099 0.38924
alpha1 0.000000 NA NA NA
beta1 0.998987 0.000512 1951.83835 0.00000
shape 5.320904 0.765397 6.95183 0.00000
LogLikelihood : 5846.775
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.7973
Bayes -5.7806
Shibata -5.7973
Hannan-Quinn -5.7912
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.01742 0.8950
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 3.61057 0.1645
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 6.19334 0.2263
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 38.65 5.082e-10
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 98.56 0.000e+00
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 115.33 0.000e+00
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 14.85 0.500 2.000 1.165e-04
ARCH Lag[5] 23.45 1.440 1.667 2.880e-06
ARCH Lag[7] 28.19 2.315 1.543 4.826e-07
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 511.7219
Individual Statistics:
mu 0.03327
ar1 0.08317
ma1 0.04453
omega 131.91334
beta1 3.32870
shape 1.75798
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.49 1.68 2.12
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.5411 5.885e-01
Negative Sign Bias 4.4858 7.676e-06 ***
Positive Sign Bias 3.1756 1.518e-03 ***
Joint Effect 30.2106 1.246e-06 ***
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 37.69 0.0064883
2 30 60.24 0.0005764
3 40 60.57 0.0149787
4 50 79.62 0.0037015
Elapsed time : 0.125968 Quand on le retire les effets ARCH ne sont pas modélisés et nous n’avons pas la bonne distribution selon l’Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test. On va donc changer de modèle.
EGARCH(1,1):
Cliquez pour revenir à la partie concernée
Code
spec_egarch <- ugarchspec(variance.model=list(model="eGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),distribution.model="std")
fit_egarch <- ugarchfit(spec = spec_egarch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_egarch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : eGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000905 0.000205 4.40654 0.000011
ar1 0.909181 0.012313 73.84120 0.000000
ma1 -0.943392 0.012384 -76.17748 0.000000
mxreg1 0.000832 0.000615 1.35204 0.176361
mxreg2 -0.000244 0.000664 -0.36772 0.713086
omega -0.125385 0.004058 -30.89856 0.000000
alpha1 -0.051573 0.013585 -3.79638 0.000147
beta1 0.985540 0.000588 1676.69948 0.000000
gamma1 0.099497 0.021203 4.69267 0.000003
shape 5.111701 0.471782 10.83488 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000905 0.000197 4.58767 0.000004
ar1 0.909181 0.011656 77.99988 0.000000
ma1 -0.943392 0.006696 -140.88566 0.000000
mxreg1 0.000832 0.000585 1.42192 0.155050
mxreg2 -0.000244 0.000568 -0.42999 0.667203
omega -0.125385 0.008666 -14.46817 0.000000
alpha1 -0.051573 0.017016 -3.03087 0.002438
beta1 0.985540 0.001004 981.16880 0.000000
gamma1 0.099497 0.029995 3.31715 0.000909
shape 5.111701 0.556569 9.18430 0.000000
LogLikelihood : 5913.798
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8598
Bayes -5.8320
Shibata -5.8599
Hannan-Quinn -5.8496
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.02423 0.8763
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.42460 0.8170
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.40450 0.5943
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 4.492 0.03406
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.219 0.04588
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.176 0.07478
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.298 0.500 2.000 0.1295
ARCH Lag[5] 4.559 1.440 1.667 0.1298
ARCH Lag[7] 5.656 2.315 1.543 0.1661
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 2.0665
Individual Statistics:
mu 0.21507
ar1 0.33949
ma1 0.31596
mxreg1 0.20018
mxreg2 0.06851
omega 0.68780
alpha1 0.42101
beta1 0.73617
gamma1 0.04405
shape 0.21606
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2055 0.8372
Negative Sign Bias 0.6390 0.5229
Positive Sign Bias 1.3586 0.1744
Joint Effect 3.0071 0.3905
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 22.27 0.2710
2 30 35.29 0.1952
3 40 37.67 0.5307
4 50 49.64 0.4476
Elapsed time : 0.3869371 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_egarch <- ugarchspec(variance.model=list(model="eGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1)),distribution.model="std")
fit_egarch <- ugarchfit(spec = spec_egarch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_egarch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : eGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001059 0.000155 6.8518 0.000000
ar1 0.906748 0.013536 66.9901 0.000000
ma1 -0.941448 0.013223 -71.1962 0.000000
omega -0.118403 0.004012 -29.5093 0.000000
alpha1 -0.050080 0.013285 -3.7697 0.000163
beta1 0.986348 0.000579 1703.6910 0.000000
gamma1 0.097874 0.021481 4.5563 0.000005
shape 5.094784 0.464421 10.9702 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001059 0.000156 6.7667 0.000000
ar1 0.906748 0.011866 76.4148 0.000000
ma1 -0.941448 0.006876 -136.9237 0.000000
omega -0.118403 0.008680 -13.6415 0.000000
alpha1 -0.050080 0.016759 -2.9883 0.002806
beta1 0.986348 0.001013 974.0794 0.000000
gamma1 0.097874 0.031627 3.0947 0.001970
shape 5.094784 0.580819 8.7717 0.000000
LogLikelihood : 5912.813
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8609
Bayes -5.8386
Shibata -5.8609
Hannan-Quinn -5.8527
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.02207 0.8819
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.49953 0.7790
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.45986 0.5809
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 4.486 0.03417
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.239 0.04536
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.180 0.07464
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.348 0.500 2.000 0.1255
ARCH Lag[5] 4.565 1.440 1.667 0.1294
ARCH Lag[7] 5.652 2.315 1.543 0.1664
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 1.8715
Individual Statistics:
mu 0.21679
ar1 0.30657
ma1 0.28534
omega 0.65556
alpha1 0.42162
beta1 0.70277
gamma1 0.04484
shape 0.20702
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.04744 0.9622
Negative Sign Bias 0.57489 0.5654
Positive Sign Bias 1.43281 0.1521
Joint Effect 2.92349 0.4036
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 17.33 0.56769
2 30 31.54 0.34060
3 40 41.56 0.35999
4 50 65.62 0.05645
Elapsed time : 0.228935 Robust Standard Errors : Dans cette partie de notre sortie R, on y retrouve les coefficients estimés par le Maximum de Vraisemblance. Les écarts-types estimés sont ici robustes à l’hétéroscédasticité. Les statistiques \(t\) associées à l’hypothèse nulle de nullité de chaque coefficient sont affichées dans la colonne t value, et enfin dans Pr(>|t|), on y retrouve les p-values correspondantes. On observe ici dans notre cas que les p-values associées à chacun de nos coefficients sont inférieures à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle.
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals : Dans cette sortie R, un test de Ljung-Box est réalisé sur les résidus standardisés. Les p-values sont toutes supérieures à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle. Nous n’avons pas d’autocorrélation dans nos résidus.
Weighted ARCH LM Tests : Ici, la statistique d’Engle est appliquée aux résidus standardisés et ce pour différents retards. Dans notre cas, on observe que les p-values sont supérieures à 0,05. On n’accepte donc pas l’hypothèse nulle d’absence de clusters de volatilité. Notre modèle a réussi à prendre en compte tous les clusters de volatilité présents dans nos données.
Nyblom stability Test : On calcule la statistique de test de stabilité de Nyblom. La statistique jointe est de 1,8719, ce qui est inférieur à 2,11, la valeur tabulée à 5% pour la statistique de test jointe. On accepte donc l’hypothèse nulle de stabilité.
Sign bias Test : On réalise ici un test du Sign Bias Test. Les p-values sont toutes supérieures à 0,05, il n’y a donc pas d’effet de signe ni d’effet de taille.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test : Le test réalisé ici permet de tester l’adéquation entre la distribution que nous avons supposée, dans notre cas la distribution de Student Asymétrique, et la distribution empirique des résidus standardisés. Les p-values sont toutes supérieures à 0,05, on accepte l’hypothèse nulle d’adéquation de nos deux distributions.
Ce modèle est un très bon candidat pour l’estimation de la VaR de la série de nos rendements.
GARCH-M(1,1):
Code
spec_garchm <- ugarchspec(mean.model=list(armaOrder=c(1,1),archm=TRUE,external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model="std")
fit_garchm <- ugarchfit(spec = spec_garchm, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_garchm)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000542 0.000772 0.70283 0.482164
ar1 0.909591 0.010558 86.14851 0.000000
ma1 -0.946902 0.010551 -89.74405 0.000000
archm 0.033795 0.057192 0.59091 0.554582
mxreg1 0.000860 0.000641 1.34047 0.180094
mxreg2 -0.000222 0.000694 -0.31997 0.748993
omega 0.000001 0.000002 0.61769 0.536781
alpha1 0.031542 0.006940 4.54490 0.000005
beta1 0.963916 0.005895 163.52758 0.000000
shape 4.844118 0.852763 5.68050 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000542 0.000813 0.667228 0.50463
ar1 0.909591 0.010570 86.052268 0.00000
ma1 -0.946902 0.006689 -141.562579 0.00000
archm 0.033795 0.059895 0.564237 0.57259
mxreg1 0.000860 0.000641 1.340550 0.18007
mxreg2 -0.000222 0.000661 -0.336062 0.73682
omega 0.000001 0.000012 0.084063 0.93301
alpha1 0.031542 0.044679 0.705968 0.48021
beta1 0.963916 0.038002 25.364702 0.00000
shape 4.844118 5.050023 0.959227 0.33744
LogLikelihood : 5901
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8471
Bayes -5.8193
Shibata -5.8472
Hannan-Quinn -5.8369
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.05792 0.8098
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.79484 0.6031
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.74770 0.5121
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.296 0.06943
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.189 0.04666
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.519 0.06344
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.795 0.500 2.000 0.09455
ARCH Lag[5] 4.948 1.440 1.667 0.10567
ARCH Lag[7] 5.969 2.315 1.543 0.14332
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 181.9113
Individual Statistics:
mu 0.05669
ar1 0.06059
ma1 0.03539
archm 0.05869
mxreg1 0.03034
mxreg2 0.07313
omega 16.66765
alpha1 0.38270
beta1 0.49912
shape 0.42481
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.3052 0.7603
Negative Sign Bias 1.3738 0.1696
Positive Sign Bias 0.8920 0.3725
Joint Effect 2.6968 0.4408
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 28.68 0.071148
2 30 39.10 0.099777
3 40 54.38 0.051829
4 50 76.74 0.006867
Elapsed time : 1.019197 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_garchm <- ugarchspec(mean.model=list(armaOrder=c(1,1),archm=TRUE),distribution.model="std")
fit_garchm <- ugarchfit(spec = spec_garchm, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_garchm)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000633 0.000739 0.85624 0.391867
ar1 0.909015 0.011026 82.44524 0.000000
ma1 -0.946293 0.010867 -87.08230 0.000000
archm 0.038360 0.056549 0.67834 0.497553
omega 0.000001 0.000002 0.57944 0.562291
alpha1 0.031405 0.007302 4.30084 0.000017
beta1 0.964239 0.006109 157.83349 0.000000
shape 4.820574 0.894164 5.39116 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000633 0.000775 0.816087 0.41445
ar1 0.909015 0.010872 83.611694 0.00000
ma1 -0.946293 0.007130 -132.719145 0.00000
archm 0.038360 0.058363 0.657254 0.51102
omega 0.000001 0.000014 0.074621 0.94052
alpha1 0.031405 0.050414 0.622945 0.53332
beta1 0.964239 0.042130 22.887237 0.00000
shape 4.820574 5.731673 0.841041 0.40032
LogLikelihood : 5900.046
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8482
Bayes -5.8259
Shibata -5.8482
Hannan-Quinn -5.8400
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.05115 0.8211
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.82107 0.5863
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.73666 0.5147
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.239 0.07189
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.047 0.05052
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.286 0.07095
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.808 0.500 2.000 0.0938
ARCH Lag[5] 4.834 1.440 1.667 0.1122
ARCH Lag[7] 5.815 2.315 1.543 0.1542
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 183.7139
Individual Statistics:
mu 0.05591
ar1 0.05831
ma1 0.03364
archm 0.05894
omega 17.17732
alpha1 0.35563
beta1 0.47104
shape 0.40665
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2988 0.7651
Negative Sign Bias 1.3543 0.1758
Positive Sign Bias 0.8857 0.3759
Joint Effect 2.6316 0.4520
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 28.58 0.07283
2 30 39.72 0.08854
3 40 49.38 0.12333
4 50 74.11 0.01179
Elapsed time : 0.314153 - Robust Standard Errors : Coefficients archm pas significatifs, alpha1 non plus.
On va donc changer de modèle.
IGARCH(1,1):
Cliquez pour revenir à la partie concernée
Avec la distribution std:
Code
spec_igarch1 <- ugarchspec(variance.model=list(model="iGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model="std")
fit_igarch1 <- ugarchfit(spec = spec_igarch1, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_igarch1)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : iGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000977 0.000195 5.01645 0.000001
ar1 0.912975 0.016698 54.67615 0.000000
ma1 -0.949873 0.014251 -66.65497 0.000000
mxreg1 0.000850 0.000636 1.33823 0.180822
mxreg2 -0.000285 0.000680 -0.41911 0.675138
omega 0.000001 0.000000 1.12973 0.258591
alpha1 0.033147 0.003567 9.29337 0.000000
beta1 0.966853 NA NA NA
shape 4.576455 0.369405 12.38873 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000977 0.000192 5.08917 0.000000
ar1 0.912975 0.017365 52.57567 0.000000
ma1 -0.949873 0.012925 -73.48995 0.000000
mxreg1 0.000850 0.000642 1.32556 0.184984
mxreg2 -0.000285 0.000729 -0.39080 0.695944
omega 0.000001 0.000001 0.64711 0.517558
alpha1 0.033147 0.012897 2.57011 0.010167
beta1 0.966853 NA NA NA
shape 4.576455 0.350234 13.06683 0.000000
LogLikelihood : 5900.038
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8482
Bayes -5.8259
Shibata -5.8482
Hannan-Quinn -5.8400
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.04524 0.8316
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.68692 0.6709
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.56029 0.5568
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.011 0.08268
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.893 0.05505
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.420 0.06654
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.969 0.500 2.000 0.08489
ARCH Lag[5] 5.501 1.440 1.667 0.07863
ARCH Lag[7] 6.571 2.315 1.543 0.10727
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 67.0601
Individual Statistics:
mu 0.03320
ar1 0.06113
ma1 0.03651
mxreg1 0.02974
mxreg2 0.05717
omega 26.91763
alpha1 0.32361
shape 0.29460
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2602 0.7948
Negative Sign Bias 1.2149 0.2245
Positive Sign Bias 0.7724 0.4400
Joint Effect 2.0785 0.5563
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 24.87 0.164833
2 30 34.75 0.212804
3 40 50.33 0.105630
4 50 83.04 0.001715
Elapsed time : 0.2017889 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_igarch1 <- ugarchspec(variance.model=list(model="iGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1)),distribution.model="std")
fit_igarch1 <- ugarchfit(spec = spec_igarch1, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_igarch1)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : iGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001122 0.000091 12.3968 0.00000
ar1 0.914226 0.012482 73.2424 0.00000
ma1 -0.950687 0.011093 -85.7041 0.00000
omega 0.000001 0.000000 1.1189 0.26318
alpha1 0.033045 0.003562 9.2768 0.00000
beta1 0.966955 NA NA NA
shape 4.560717 0.365986 12.4615 0.00000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001122 0.000078 14.44871 0.000000
ar1 0.914226 0.015019 60.86929 0.000000
ma1 -0.950687 0.010874 -87.42506 0.000000
omega 0.000001 0.000001 0.63659 0.524393
alpha1 0.033045 0.012944 2.55294 0.010682
beta1 0.966955 NA NA NA
shape 4.560717 0.347646 13.11887 0.000000
LogLikelihood : 5899.056
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8492
Bayes -5.8325
Shibata -5.8492
Hannan-Quinn -5.8431
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.0337 0.8544
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.6775 0.6767
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.5098 0.5689
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 2.944 0.08621
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.729 0.06030
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.151 0.07566
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.982 0.500 2.000 0.08421
ARCH Lag[5] 5.356 1.440 1.667 0.08497
ARCH Lag[7] 6.384 2.315 1.543 0.11747
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 66.6776
Individual Statistics:
mu 0.03311
ar1 0.05565
ma1 0.03506
omega 26.85423
alpha1 0.33869
shape 0.29392
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.49 1.68 2.12
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2648 0.7912
Negative Sign Bias 1.2050 0.2283
Positive Sign Bias 0.7590 0.4479
Joint Effect 2.0342 0.5653
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 25.74 0.13747
2 30 34.48 0.22199
3 40 46.16 0.20033
4 50 70.43 0.02403
Elapsed time : 0.1163468 – Robust Standard Errors : Toutes les variables sont significatives, sauf omega, qu’on ne peut de toute manière pas retirer.
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals : Il n’y a pas d’autocorrélation.
Weighted ARCH LM Tests : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle. Il n’y a pas d’effet ARCH.
Nyblom stability Test : La valeur jointe du test statistique vaut 66,87, ce qui est beaucoup plus grande que la valeur tabulée à 5% qui vaut 1,68.
Sign bias Test : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05, il n’y a donc pas d’effet de signe ni d’effet de taille.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test : Il y a une seule valeur qui n’est pas significative. Donc sstd ne semble pas être la bonne distribution.
Candidat potentiel, même si le EGARCH(1,1) qui suit semble être bien meilleur.
Avec la distribution nig:
Code
spec_igarch2 <- ugarchspec(variance.model=list(model="iGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model="nig",
fixed.pars = list(skew = 0))
fit_igarch2 <- ugarchfit(spec = spec_igarch2, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_igarch2)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : iGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : nig
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000992 0.000205 4.84030 0.000001
ar1 0.910118 0.020425 44.55845 0.000000
ma1 -0.947644 0.017401 -54.45874 0.000000
mxreg1 0.000842 0.000639 1.31703 0.187828
mxreg2 -0.000282 0.000682 -0.41295 0.679645
omega 0.000000 0.000000 0.97062 0.331736
alpha1 0.033720 0.003676 9.17194 0.000000
beta1 0.966280 NA NA NA
skew 0.000000 NA NA NA
shape 1.117996 0.160872 6.94959 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000992 0.000205 4.83662 0.000001
ar1 0.910118 0.018905 48.14059 0.000000
ma1 -0.947644 0.013943 -67.96385 0.000000
mxreg1 0.000842 0.000656 1.28231 0.199736
mxreg2 -0.000282 0.000741 -0.38011 0.703861
omega 0.000000 0.000001 0.56825 0.569868
alpha1 0.033720 0.013663 2.46800 0.013587
beta1 0.966280 NA NA NA
skew 0.000000 NA NA NA
shape 1.117996 0.166491 6.71507 0.000000
LogLikelihood : 5899.217
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8474
Bayes -5.8251
Shibata -5.8474
Hannan-Quinn -5.8392
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.06172 0.8038
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.73567 0.6406
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.57513 0.5532
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 2.803 0.09409
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.506 0.06820
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 9.041 0.07974
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.908 0.500 2.000 0.08815
ARCH Lag[5] 5.500 1.440 1.667 0.07864
ARCH Lag[7] 6.597 2.315 1.543 0.10587
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 52.7537
Individual Statistics:
mu 0.03381
ar1 0.08157
ma1 0.05117
mxreg1 0.03272
mxreg2 0.05498
omega 29.63498
alpha1 0.27248
shape 0.18305
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2557 0.7982
Negative Sign Bias 1.1371 0.2556
Positive Sign Bias 0.7032 0.4820
Joint Effect 1.7927 0.6165
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 24.89 0.164168
2 30 37.22 0.140598
3 40 56.01 0.038042
4 50 76.24 0.007618
Elapsed time : 0.778157 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_igarch2 <- ugarchspec(variance.model=list(model="iGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1)),distribution.model="nig",
fixed.pars = list(skew = 0))
fit_igarch2 <- ugarchfit(spec = spec_igarch2, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_igarch2)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : iGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : nig
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001136 0.000146 7.8012 0.00000
ar1 0.909752 0.020720 43.9072 0.00000
ma1 -0.947243 0.017703 -53.5078 0.00000
omega 0.000000 0.000000 0.9680 0.33305
alpha1 0.033753 0.003693 9.1404 0.00000
beta1 0.966247 NA NA NA
skew 0.000000 NA NA NA
shape 1.107832 0.159068 6.9645 0.00000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001136 0.000147 7.75508 0.000000
ar1 0.909752 0.018938 48.03914 0.000000
ma1 -0.947243 0.013896 -68.16890 0.000000
omega 0.000000 0.000001 0.56181 0.574243
alpha1 0.033753 0.013788 2.44810 0.014361
beta1 0.966247 NA NA NA
skew 0.000000 NA NA NA
shape 1.107832 0.165304 6.70178 0.000000
LogLikelihood : 5898.265
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8484
Bayes -5.8317
Shibata -5.8484
Hannan-Quinn -5.8423
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.05664 0.8119
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.76153 0.6243
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.56088 0.5566
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 2.724 0.09887
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.325 0.07534
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.751 0.09137
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.917 0.500 2.000 0.08766
ARCH Lag[5] 5.345 1.440 1.667 0.08546
ARCH Lag[7] 6.400 2.315 1.543 0.11651
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 52.0138
Individual Statistics:
mu 0.03429
ar1 0.07985
ma1 0.04874
omega 29.29050
alpha1 0.28989
shape 0.18124
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.49 1.68 2.12
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2631 0.7925
Negative Sign Bias 1.1257 0.2604
Positive Sign Bias 0.6836 0.4943
Joint Effect 1.7397 0.6281
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 26.90 0.10710
2 30 41.00 0.06880
3 40 48.34 0.14505
4 50 64.93 0.06335
Elapsed time : 0.5254989 Robust Standard Errors : Toutes les variables sont significatives, sauf la skewness et omega. On va mettre la skewness à 0 et on laisse omega tel quel.
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals : Il n’y a pas d’autocorrélation.
Weighted ARCH LM Tests : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle. Il n’y a pas d’effet ARCH.
Nyblom stability Test : La valeur jointe du test statistique vaut 51,951, ce qui est beaucoup plus grande que la valeur tabulée à 5% qui vaut 1,68.
Sign bias Test : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05, il n’y a donc pas d’effet de signe ni d’effet de taille.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05. Donc nig semble être la bonne distribution ici.
Ce modèle est un bon candidat pour l’estimation de la VaR de nos rendements.
GJR-GARCH(0,1):
Cliquez pour revenir à la partie concernée
Code
spec_gjrgarch <- ugarchspec(variance.model=list(model="gjrGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model="std")
fit_gjrgarch <- ugarchfit(spec = spec_gjrgarch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_gjrgarch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : gjrGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000910 0.000213 4.27932 0.000019
ar1 0.908892 0.020882 43.52603 0.000000
ma1 -0.944702 0.018322 -51.56118 0.000000
mxreg1 0.000987 0.000636 1.55241 0.120565
mxreg2 -0.000286 0.000671 -0.42611 0.670024
omega 0.000002 0.000002 0.87809 0.379896
alpha1 0.014757 0.007015 2.10368 0.035406
beta1 0.955425 0.008962 106.60562 0.000000
gamma1 0.044637 0.015085 2.95901 0.003086
shape 4.959350 0.753366 6.58292 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000910 0.000207 4.39929 0.000011
ar1 0.908892 0.015453 58.81551 0.000000
ma1 -0.944702 0.011411 -82.78865 0.000000
mxreg1 0.000987 0.000612 1.61244 0.106867
mxreg2 -0.000286 0.000625 -0.45747 0.647331
omega 0.000002 0.000012 0.14558 0.884251
alpha1 0.014757 0.021938 0.67269 0.501146
beta1 0.955425 0.047638 20.05583 0.000000
gamma1 0.044637 0.054697 0.81608 0.414457
shape 4.959350 3.240623 1.53037 0.125925
LogLikelihood : 5907.476
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8536
Bayes -5.8257
Shibata -5.8536
Hannan-Quinn -5.8434
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.05829 0.8092
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.37474 0.8402
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.37525 0.6014
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.853 0.04965
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.818 0.05741
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.899 0.08525
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.527 0.500 2.000 0.1119
ARCH Lag[5] 4.852 1.440 1.667 0.1112
ARCH Lag[7] 5.904 2.315 1.543 0.1478
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 94.4921
Individual Statistics:
mu 0.08682
ar1 0.20334
ma1 0.16582
mxreg1 0.08687
mxreg2 0.04585
omega 7.39493
alpha1 0.41845
beta1 0.48168
gamma1 0.23030
shape 0.37756
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.03253 0.9741
Negative Sign Bias 0.69806 0.4852
Positive Sign Bias 1.31493 0.1887
Joint Effect 2.50898 0.4737
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 19.05 0.4533
2 30 32.13 0.3141
3 40 50.29 0.1063
4 50 52.57 0.3376
Elapsed time : 0.4225512 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_gjrgarch <- ugarchspec(variance.model=list(model="gjrGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1)),distribution.model="std")
fit_gjrgarch <- ugarchfit(spec = spec_gjrgarch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_gjrgarch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : gjrGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001086 0.000155 7.01369 0.000000
ar1 0.908741 0.020860 43.56332 0.000000
ma1 -0.944509 0.018345 -51.48640 0.000000
omega 0.000002 0.000002 0.96685 0.333621
alpha1 0.015028 0.006585 2.28226 0.022474
beta1 0.956634 0.007163 133.55916 0.000000
gamma1 0.042550 0.013727 3.09972 0.001937
shape 4.921788 0.716299 6.87114 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001086 0.000154 7.06239 0.000000
ar1 0.908741 0.015285 59.45380 0.000000
ma1 -0.944509 0.011261 -83.87683 0.000000
omega 0.000002 0.000009 0.17747 0.859141
alpha1 0.015028 0.016646 0.90280 0.366634
beta1 0.956634 0.032879 29.09596 0.000000
gamma1 0.042550 0.039193 1.08563 0.277642
shape 4.921788 2.691402 1.82871 0.067443
LogLikelihood : 5906.182
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8543
Bayes -5.8320
Shibata -5.8543
Hannan-Quinn -5.8461
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.04425 0.8334
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.41748 0.8204
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.39015 0.5978
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.806 0.05107
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.829 0.05705
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.871 0.08638
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.644 0.500 2.000 0.1040
ARCH Lag[5] 4.874 1.440 1.667 0.1099
ARCH Lag[7] 5.892 2.315 1.543 0.1487
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 102.037
Individual Statistics:
mu 0.0860
ar1 0.1902
ma1 0.1534
omega 8.2174
alpha1 0.4096
beta1 0.4731
gamma1 0.2240
shape 0.3761
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.01713 0.9863
Negative Sign Bias 0.70882 0.4785
Positive Sign Bias 1.31172 0.1898
Joint Effect 2.47182 0.4804
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 22.67 0.2523
2 30 34.72 0.2138
3 40 56.21 0.0366
4 50 64.53 0.0676
Elapsed time : 0.627553 - Robust Standard Errors : On a ici omega qui n’est pas significatif, mais on ne peut pas le retirer. De plus, alpha1 n’est pas significatif. On va donc le retirer :
Code
spec_gjrgarch <- ugarchspec(variance.model=list(model="gjrGARCH", garchOrder=c(1,1)),
mean.model=list(armaOrder=c(1,1)),distribution.model="std",
fixed.pars = list(alpha1 = 0))
fit_gjrgarch <- ugarchfit(spec = spec_gjrgarch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_gjrgarch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : gjrGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001081 0.000167 6.4886 0.000000
ar1 0.899617 0.023690 37.9745 0.000000
ma1 -0.933560 0.021496 -43.4286 0.000000
omega 0.000002 0.000001 1.9619 0.049776
alpha1 0.000000 NA NA NA
beta1 0.959226 0.003779 253.7978 0.000000
gamma1 0.061047 0.008501 7.1811 0.000000
shape 4.888639 0.563427 8.6766 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001081 0.000171 6.32665 0.00000
ar1 0.899617 0.020506 43.87154 0.00000
ma1 -0.933560 0.014656 -63.69596 0.00000
omega 0.000002 0.000004 0.61405 0.53918
alpha1 0.000000 NA NA NA
beta1 0.959226 0.006786 141.34799 0.00000
gamma1 0.061047 0.009810 6.22285 0.00000
shape 4.888639 0.837808 5.83503 0.00000
LogLikelihood : 5903.26
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8524
Bayes -5.8329
Shibata -5.8524
Hannan-Quinn -5.8452
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.0212 0.8842
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.3046 0.8700
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.4301 0.5881
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 6.362 0.011660
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 10.431 0.007131
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 12.260 0.015825
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 3.538 0.500 2.000 0.05998
ARCH Lag[5] 5.169 1.440 1.667 0.09393
ARCH Lag[7] 5.828 2.315 1.543 0.15318
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 62.4402
Individual Statistics:
mu 0.2219
ar1 0.3026
ma1 0.2752
omega 3.7967
beta1 0.6442
gamma1 0.3640
shape 0.5481
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.05983 0.95230
Negative Sign Bias 0.75295 0.45157
Positive Sign Bias 1.87554 0.06086 *
Joint Effect 4.70562 0.19467
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 20.27 0.3788
2 30 36.51 0.1592
3 40 45.68 0.2142
4 50 59.12 0.1525
Elapsed time : 0.3475029 En retirant alpha1 on a :
Robust Standard Errors : Tous les coefficients sont significatifs sauf omega
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals : Toutes les p-values sont supérieurs à 0.05. Il n’y a pas d’autocorrélation dans notre série.
Weighted ARCH LM Tests : Toutes les p-values sont supérieurs à 0.05. Il n’y a pas d’effets ARCH dans notre série.
Nyblom stability Test : Nos variables ne sont pas stable dans le temps, la statistiques de test jointe est beaucoup plus élevé que la valeur tabulée à 5%. 64,4084 > 1,9.
Sign bias Test : Toutes les p-values sont supérieurs à 0.05. Il n’y pas d’effet de taille ni d’effet de signe.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test : Toutes les p-values sont supérieurs à 0.05. On a la bonne distribution.
On a ici un candidat potentielle
APARCH(1,1):
Commençons par estimer un APARCH(1,1), ce qui correspond au processus suivant :
ARCH(1) quand \(\delta = 2, \gamma_1 = \beta_1 = 0\)
GARCH(1,1) quand \(\delta = 2, \gamma_1 = 0\)
GJR-GARCH(1,1) quand \(\delta = 2\)
Ce modèle est donc très interessant car d’autre modèles sont des cas particulier de celui ci.
Code
spec_aparch <- ugarchspec(variance.model = list(model = "apARCH", garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1),external.regressors=as.matrix(cbind(mardi,juillet))),
distribution.model = "std")
fit_aparch <- ugarchfit(spec = spec_aparch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_aparch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : apARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000913 0.000211 4.31605 0.000016
ar1 0.912955 0.023569 38.73519 0.000000
ma1 -0.946693 0.020346 -46.52949 0.000000
mxreg1 0.000869 0.000628 1.38469 0.166147
mxreg2 -0.000274 0.000672 -0.40812 0.683187
omega 0.000131 0.000188 0.70024 0.483780
alpha1 0.060610 0.018979 3.19355 0.001405
beta1 0.937654 0.022395 41.86877 0.000000
gamma1 0.440663 0.142809 3.08567 0.002031
delta 1.129901 0.268084 4.21473 0.000025
shape 5.038185 0.562484 8.95702 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.000913 0.000201 4.53229 0.000006
ar1 0.912955 0.019877 45.92980 0.000000
ma1 -0.946693 0.015209 -62.24383 0.000000
mxreg1 0.000869 0.000611 1.42354 0.154579
mxreg2 -0.000274 0.000586 -0.46739 0.640219
omega 0.000131 0.000283 0.46482 0.642057
alpha1 0.060610 0.036405 1.66487 0.095938
beta1 0.937654 0.045662 20.53488 0.000000
gamma1 0.440663 0.181700 2.42522 0.015299
delta 1.129901 0.309046 3.65609 0.000256
shape 5.038185 0.512666 9.82742 0.000000
LogLikelihood : 5910.277
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8554
Bayes -5.8247
Shibata -5.8554
Hannan-Quinn -5.8441
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.02222 0.8815
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.37740 0.8390
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.47104 0.5782
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.644 0.05627
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.278 0.07729
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.062 0.12534
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.428 0.500 2.000 0.1192
ARCH Lag[5] 4.579 1.440 1.667 0.1284
ARCH Lag[7] 5.470 2.315 1.543 0.1812
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 2.9435
Individual Statistics:
mu 0.18260
ar1 0.31037
ma1 0.28477
mxreg1 0.17534
mxreg2 0.06399
omega 1.03649
alpha1 0.59862
beta1 0.70831
gamma1 0.30260
delta 1.02324
shape 0.47262
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.49 2.75 3.27
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2791 0.7802
Negative Sign Bias 0.4658 0.6414
Positive Sign Bias 1.1852 0.2361
Joint Effect 2.5594 0.4647
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 22.21 0.2739
2 30 34.33 0.2272
3 40 41.99 0.3425
4 50 60.36 0.1281
Elapsed time : 1.262244 On observe que mxreg1 mxreg2 sont des coefficients significatifs (p-val > 0.05), on va donc les retirer.
Code
spec_aparch <- ugarchspec(variance.model = list(model = "apARCH", garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1)), distribution.model = "sstd")
fit_aparch <- ugarchfit(spec = spec_aparch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_aparch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : apARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : sstd
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001013 0.000175 5.79009 0.000000
ar1 0.908779 0.020651 44.00572 0.000000
ma1 -0.943269 0.018006 -52.38592 0.000000
omega 0.000138 0.000192 0.72206 0.470255
alpha1 0.059882 0.016872 3.54922 0.000386
beta1 0.939541 0.019194 48.95047 0.000000
gamma1 0.440915 0.144261 3.05636 0.002240
delta 1.105952 0.265453 4.16628 0.000031
skew 0.974861 0.029722 32.79954 0.000000
shape 5.004845 0.555511 9.00944 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001013 0.000184 5.49313 0.000000
ar1 0.908779 0.015892 57.18489 0.000000
ma1 -0.943269 0.011379 -82.89588 0.000000
omega 0.000138 0.000269 0.51457 0.606851
alpha1 0.059882 0.028265 2.11861 0.034123
beta1 0.939541 0.034234 27.44437 0.000000
gamma1 0.440915 0.187569 2.35068 0.018739
delta 1.105952 0.308348 3.58670 0.000335
skew 0.974861 0.032034 30.43171 0.000000
shape 5.004845 0.506796 9.87547 0.000000
LogLikelihood : 5909.546
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8556
Bayes -5.8278
Shibata -5.8557
Hannan-Quinn -5.8454
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.0268 0.8700
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.4894 0.7843
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.5754 0.5531
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.709 0.05412
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.357 0.07405
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.072 0.12477
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.474 0.500 2.000 0.1157
ARCH Lag[5] 4.544 1.440 1.667 0.1309
ARCH Lag[7] 5.373 2.315 1.543 0.1895
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 3.0085
Individual Statistics:
mu 0.1860
ar1 0.3031
ma1 0.2875
omega 0.9864
alpha1 0.5655
beta1 0.6719
gamma1 0.3814
delta 0.9821
skew 0.1484
shape 0.4517
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.05761 0.9541
Negative Sign Bias 0.37004 0.7114
Positive Sign Bias 1.28758 0.1980
Joint Effect 2.42857 0.4883
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 19.63 0.41713
2 30 37.82 0.12642
3 40 58.11 0.02504
4 50 53.81 0.29542
Elapsed time : 1.272573 On remarque de \(\delta = 1.106\) qui est proche de 1. On va donc le fixer à 1.
Code
spec_aparch <- ugarchspec(variance.model = list(model = "apARCH", garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(1,1)), distribution.model = "sstd",
fixed.pars = list(delta = 1))
fit_aparch <- ugarchfit(spec = spec_aparch, data = rt, out.sample = length(rtt), solver = "hybrid")
show(fit_aparch)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : apARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,1)
Distribution : sstd
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001016 0.000175 5.8051 0.000000
ar1 0.907930 0.021838 41.5765 0.000000
ma1 -0.942571 0.018643 -50.5577 0.000000
omega 0.000236 0.000149 1.5850 0.112958
alpha1 0.062679 0.018658 3.3593 0.000781
beta1 0.936971 0.022733 41.2166 0.000000
gamma1 0.453221 0.141692 3.1986 0.001381
delta 1.000000 NA NA NA
skew 0.975450 0.029697 32.8464 0.000000
shape 5.008155 0.556513 8.9992 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.001016 0.000178 5.71101 0.000000
ar1 0.907930 0.017663 51.40275 0.000000
ma1 -0.942571 0.012824 -73.50054 0.000000
omega 0.000236 0.000280 0.84239 0.399570
alpha1 0.062679 0.034446 1.81966 0.068811
beta1 0.936971 0.044361 21.12136 0.000000
gamma1 0.453221 0.151399 2.99355 0.002757
delta 1.000000 NA NA NA
skew 0.975450 0.029883 32.64270 0.000000
shape 5.008155 0.515438 9.71632 0.000000
LogLikelihood : 5909.479
Information Criteria
------------------------------------
Akaike -5.8566
Bayes -5.8315
Shibata -5.8566
Hannan-Quinn -5.8474
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.02937 0.8639
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.52485 0.7654
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 4.63526 0.5388
d.o.f=2
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 3.727 0.05354
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.388 0.07280
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 8.050 0.12603
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 2.542 0.500 2.000 0.1108
ARCH Lag[5] 4.548 1.440 1.667 0.1306
ARCH Lag[7] 5.315 2.315 1.543 0.1946
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 2.6048
Individual Statistics:
mu 0.2057
ar1 0.2991
ma1 0.2862
omega 1.0207
alpha1 0.6280
beta1 0.7230
gamma1 0.5364
skew 0.1452
shape 0.4735
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 2.1 2.32 2.82
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.1055 0.9160
Negative Sign Bias 0.3574 0.7209
Positive Sign Bias 1.2643 0.2063
Joint Effect 2.4595 0.4827
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 19.77 0.4086
2 30 34.22 0.2314
3 40 60.18 0.0163
4 50 60.36 0.1281
Elapsed time : 0.6119239 Dans Robust Standard Errors : On observe que tous nos coefficients sont significatifs, à l’exception de omega qui ne l’est pas, avec une p-value de 0,11. Cependant, on ne peut pas le retirer, car cela reviendrait à poser sa nullité, alors qu’il doit être strictement positif selon le modèle GARCH(1,1). De plus, on observe que alpha1 n’est pas significatif, avec une p-value de 0,06. Nous allons donc essayer un autre modèle.
Dans Ljung-Box Test : On observe que toutes les p-values sont supérieures à 0,05. On accepte l’hypothèse nulle d’absence d’autocorrélation. Notre ARMA(1,1) a réussi à prendre en compte toute l’autocorrélation.
Dans Arch LM Tests : Comme précédemment, toutes les p-values sont supérieures à 0,05. On accepte donc l’hypothèse nulle d’absence de clusters de volatilité. Le GARCH(1,1) a réussi à prendre en compte tous les clusters de volatilité.
Nyblom stability test : La valeur calculée de la statistique jointe est de 2,605, ce qui est supérieur à la valeur tabulée de la statistique jointe à 5%, qui vaut 2,32. Nous rejetons donc l’hypothèse nulle de stabilité. On remarque que omega, alpha1, beta1, gamma1, shape ne sont pas stables dans le temps, car la valeur de leurs statistiques individuelles est supérieure à la valeur tabulée à 5%, qui est de 0,47.
Sign Bias Test : Toutes les p-values sont supérieures à 0,05, donc il n’y a pas d’effet de signe ni d’effet taille.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test : Toutes les p-values ne sont pas supérieures à 0,05. Donc “sstd” n’est pas la bonne distribution.
Finalement, comme on a seulement alpha1 qui n’est pas significatif et que les p-values du test de Pearson ne sont pas supérieures à 0,05.
Note : En faisant alpha1 = 0 notre algorithme ne converge pas. En changeant l’ordre du garch en notant garchOrder = c(0,1) les effets ARCH ne sont pas modélisés.
Tableau Récapitulatif des modèles:
On rappel que tous les modèles sont ici réalisées avec en plus un ARMA(1,1) et la distribution de Student Asymétrique.
| ARCH(1) | GARCH-M(1,1) | GARCH(1,1) | IGARCH(1,1) ~ std | |
|---|---|---|---|---|
| Robust Standard Errors | Tous les coefficients sont significatifs | archm pas significatif | alpha1 n’est pas significatif | omega pas significatif |
| Ljung-Box Test | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation |
| ARCH LM Tests | Effets ARCH | Pas d’effets ARCH | Effets ARCH | Pas d’effets ARCH |
| Nyblom stability Tests | Pas stables dans le temps | Pas stables dans le temps | Pas stables dans le temps | Pas stables dans le temps |
| Sign Bias Test | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille |
| Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test | Pas la bonne distribution | Pas la bonne distribution | Pas la bonne distribution | Pas la bonne distribution |
| IGARCH(1,1) ~ nig | EGARCH(1,1) | GJR_GARCH(0,1) | APARCH(1,1) | |
|---|---|---|---|---|
| Robust Standard Errors | omega pas significatif | Tous les coefficients sont significatifs | omega n’est pas significatif | \(\delta =1\) ,alpha1 pas significatif |
| Ljung-Box Test | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation | Pas d’autocorrélation |
| ARCH LM Tests | Pas d’effets ARCH | Pas d’effets ARCH | Pas d’effets ARCH | Effets ARCH |
| Nyblom stability Tests | Pas stables dans le temps | Stables dans le temps | Pas stables dans le temps | Pas stables dans le temps |
| Sign Bias Test | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille | as d’effet de signe ni d’effet de taille | Pas d’effet de signe ni d’effet de taille |
| Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test | Bonne distribution | Bonne distribution | Bonne distribution | Bonne distribution |
Dans nos estimations de modèle, nous avons donc trois modèles qui se sont avérés être des candidats potentiels. Ce sont les modèles EGARCH(1,1), IGARCH(1,1) ~ NIG, GJR-GARCH(0,1). Comparons leurs BIC :
\[BIC_{EGARCH(1,1)} = -5.8386\] \[BIC_{IGARCH(1,1) ~ NIG} = -5.8325\] \[BIC_{GJR-GARCH(0,1)} = -5.8329\]
Le BIC le plus bas est celui de l’IGARCH, suivi du GJR-GARCH et de l’EGARCH. Cependant, le modèle EGARCH est celui qui réussit tous les tests que nous avons effectués.
C) Définitions:
Modèle ARCH(m):
\[v_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 v_{t-1}^2 + \ldots + \alpha_m v_{t-m}^2\] où {\(\varepsilon_t\)} est une séquence de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une moyenne nulle et un écart-type de 1. De plus, \(\alpha_i \geq 0\) pour \(i > 0\). \(v_t\) est appelé le choc sur les rendements à la date \(t\).
Avantage : La force du modèle réside dans sa capacité à prendre en compte les clusters de volatilité, où des chocs importants sur les rendements se succèdent. Lorsque des chocs importants sont élevés au carré, cela entraîne une volatilité accrue, conduisant à des chocs significatifs et, par conséquent, à des chocs élevés au carré (\(v^2\) élevés \(\rightarrow \sigma_t^2\) élevée \(\rightarrow v_t\) élevé \(\rightarrow v_{t^2}\) élevé).
Inconvénients : Cependant, le modèle présente deux inconvénients notables. Tout d’abord, il suppose que les chocs, qu’ils soient positifs ou négatifs, ont les mêmes effets sur la volatilité, car celle-ci dépend du carré des chocs précédents. Cette hypothèse ne capture pas toujours la réalité, car le comportement des actifs financiers peut différer en réaction à des chocs positifs et négatifs. De plus, le modèle ARCH(m) exige un nombre substantiel de paramètres, en particulier lorsque \(m\), la taille de la fenêtre, est généralement grande.
Modèle GARCH(m,s):
\[v_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i = 1}^m \alpha_i v_{t-i}^2 + \sum_{j = 1}^s \beta_j \sigma_{t-j}^2\]
\[ \text{où }\varepsilon_t \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0,1), \quad \alpha_0 > 0, \quad \alpha_i \geq 0, \quad \beta_j \geq 0, \quad \left(\sum_{i=1}^{\max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i)\right) < 1. \]
La contrainte sur \(\alpha_i + \beta_i\) garantit que la variance non conditionnelle de \(v_t\) est finie et que sa variance conditionnelle varie dans le temps.
En notant \(\eta_t = v_t^2 - \sigma_t^2\), alors \(\sigma_t^2 = v_t^2 - \eta_t\) et \(\sigma_{t-i}^2 = v_{t-i}^2 - \eta_{t-i}\) pour \(i = 0, \ldots, s\), et l’équation peut être réécrite comme un ARMA pour la série \(v_t^2\):
\[ v_{t}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{\text{max}(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) v_{t-i}^2 + \eta_t - \sum_{j=1}^{s} \beta_j \eta_{t-j} \]
La variance non conditionnelle de \(v_t^2\) est donnée par \(E(v_t^2) = \frac{\alpha_0}{1 - \left(\sum_{i=1}^{\max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i)\right)}\).
GARCH(1,1) quelques propriétés:
\[ v_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 v_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 \quad \text{avec} \quad \alpha_1 \geq 0, \quad \beta_1 \leq 1, \quad (\alpha_1 + \beta_1) < 1. \]
Si \(v^2\) ou \(\sigma^2\) est grande, alors \(\sigma^2\) est grande. Ainsi, une forte valeur de \(v^2\) tend à être suivie d’une autre forte valeur de \(v^2\) avec \(\alpha_1 \geq 0\), \(\beta_1 \leq 1\), et \((\alpha_1 + \beta_1) < 1\).
Si \(1 - 2\alpha_1^2 - (\alpha_1 + \beta_1)^2 > 0\), alors :
\[ \frac{E(v_t^2)}{[E(v_t^2)]^2} = \frac{3[1 - (\alpha_1 + \beta_1)^2]}{1 - (\alpha_1 + \beta_1)^2 - 2\alpha_1^2} > 3 \]
Par conséquent, les queues de la distribution d’un modèle GARCH(1,1) sont plus épaisses que celles d’une distribution normale.
Modèle GARCH-M:
Le modèle GARCH-M (GARCH avec effet de la volatilité sur le rendement) est défini par les équations suivantes :
\[ r_t = \mu + c\sigma_t^2 + v_t, \quad v_t = \sigma_t \varepsilon_t \]
\[ \sigma_t^2 = \alpha + \alpha v^2 + \beta \sigma^2 \]
où \(\mu\) et \(c\) sont des constantes. \(c\) est appelé le paramètre de prime de risque. Si \(c > 0\), alors le rendement est positivement relié à sa volatilité.
D’autres spécifications de la prime de risque ont été employées :
- \(r_t = \mu + c \sigma_t + v_t\)
- \(r_t = \mu + c \ln(\sigma_t^2) + v_t\)
L’existence d’une prime de risque est une autre source d’autocorrélations dans la série des rendements.
Modèle IGARCH:
\[ \sum _{{i=1}}^{s}~\beta _{{i}}+\sum _{{i=1}}^{m}~\alpha _{{i}}=1 \]
Il faut faire attention ici. Comme la somme des coefficients (constante exclue) est égale à 1, on ne peut pas calculer la variance non conditionnelle de \(v_t\) et donc non plus celle de \(r_t\). On doit faire des tests de changements structurels car s’ils sont présents, cela pourrait invalider l’emploi d’un IGARCH.
Modèle EGARCH(m,s):
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\[v_t = \sigma_t \epsilon_t\]
\[ \ln \sigma_t^2 = \alpha_0 + \frac{1 + \beta_1L + \ldots + \beta_{s-1}L^{s-1}}{1 - \alpha_1 L - \ldots - \alpha_m L^m} g(\epsilon_{t-1})\]
\[g(\epsilon_t) = \theta \epsilon_t + \gamma [| \epsilon_t | - E(| \epsilon_t |)]\]
Avec \(\theta\) et \(\gamma\) des constantes réelles. \(L\) est l’opérateur retard, c’est-à-dire \(L\epsilon_t = \epsilon_{t-1}\) et \(L^2\epsilon_t = \epsilon_{t-2}\). \(\epsilon_t\) et \(| \epsilon_t | - E(| \epsilon_t |)\) sont des séquences i.i.d. avec des distributions continues et sont de moyenne nulle. Donc \(E[g(\epsilon_t)] = 0\).
Ce modèle autorise une forme d’asymétrie qui dépend :
- du signe positif ou négatif de l’innovation (\(\theta\)),
- de l’amplitude de ce choc (\(\gamma\)).
Par ailleurs, il présente aussi l’avantage de ne nécessiter aucune restriction de non-négativité sur les paramètres afin de garantir la positivité de la variance conditionnelle.
Dans le package rugarch, le modèle EGARCH(m,s) est de la forme suivante :
\[v_t = \sigma_t \epsilon_t\]
\[\ln \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i = 1}^s \alpha_i \frac{|\varepsilon_{t-i}| + \gamma_i\varepsilon_{t-i}}{\sigma_{t-i}} + \sum_{j = 1}^m \beta_j \ln(\sigma_{t-j}^2)\]
L’effet de levier est caractérisé par les \(\gamma_i\) qui doivent être significatifs et négatifs. Une bonne nouvelle, c’est-à-dire \(\epsilon_{t-i} > 0\), a un impact sur la volatilité en log égal à \(\alpha_i(1 + \gamma_i) | \epsilon_{t-1} |\), alors qu’une mauvaise nouvelle a un impact égal à \(\alpha_i(1 - \gamma_i) | \epsilon_{t-1} |\).
Modèle GJR-GARCH(m,s):
Cliquez pour revenir à la partie concernée
Le modèle est formulé par l’équation suivante :
\[r_t = \mu + v_t, \quad v_t = \sigma_t \epsilon_t,\]
\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i = 1}^m (\alpha_i v^2_{t - i} + \gamma_i I_{t - i < 0}v_{t-i}^2) + \sum_{j = 1}^s \beta_j \sigma^2_{t-j}\]
où les \(\epsilon_t\) représentent des bruits blancs et \(I_{t-i} = 1\) si \(v_{t-i} < 0\) et 0 sinon.
Modèle APARCH(m, s):
\[r_t = \mu + v_t\]
\[v_t = \sigma_t \varepsilon_t\]
\[\sigma_t^\delta = \alpha_0 + \sum_{i = 1} ^s \alpha_i (|v_{t-i}| - \gamma_i v_{t-i})^\delta + \sum_{i = 1}^m \beta_i \sigma_{t-i}^\delta\]
La positivité de \(\sigma_t\) est assurée par les conditions suivantes :
- \(\alpha_0 > 0\),
- \(\alpha_i \geq 0\),
- \(-1 < \gamma_i < 1\) pour \(i = 1, \ldots, s\),
- \(\beta_i \geq 0\) pour \(i = 1, \ldots, m\),
- \(\delta > 0\). En fait, pour avoir une signification, \(\delta\) doit être égal à 1 (écart-type conditionnel) ou 2 (variance conditionnelle). La stationnarité du second ordre d’un processus APARCH nécessite :
\[\sum_{i = 1} ^s \alpha_i E[|v_{t-i}| - \gamma_i v_{t-i}]^\delta + \sum_{i = 1}^m \beta_i \sigma_{t-i}^\delta < 1\]
D) Définitions Test statistiques:
Test de Ljung-Box:
Formulation de l’hypothèse nulle (H0) : L’hypothèse nulle du test de Ljung-Box est que les autocorrélations jusqu’au retard (K) sont nulles. Cela signifie qu’aucune corrélation significative n’est observée entre les observations de la série à ces retards.
Calcul des statistiques de test : Le test de Ljung-Box calcule une statistique de test basée sur les autocorrélations jusqu’au retard (K) de la série temporelle. La statistique de test est généralement notée (Q_K) et est calculée comme la somme des carrés des autocorrélations jusqu’au retard (K).
\[Q_K = T(T+2) \sum_{h=1}^{K} \frac{\hat{\rho}_h^2}{T-h}\]
Où :
- \(T\) est la taille de l’échantillon.
- \(hat{\rho}_h\) est l’autocorrélation empirique au retard \(h\).
- \(K\) est le retard maximal testé.
Calcul de la statistique de test ajustée : La statistique de test (Q_K) est ajustée en fonction du nombre de degrés de liberté. Les degrés de liberté sont généralement égaux à (K). La statistique de test ajustée est généralement notée (\(Q_K^*\)) et est donnée par :
\[Q_K^* = Q_K - T\]
Calcul de la p-valeur : La statistique de test (\(Q_K^*\)) suit approximativement une distribution du chi-carré sous l’hypothèse nulle. On peut donc calculer la p-valeur associée à (\(Q_K^*\)) en utilisant cette distribution. Une faible p-valeur indique un rejet de l’hypothèse nulle, suggérant ainsi que les autocorrélations ne sont pas nulles jusqu’au retard (\(K\)).
Interprétation : Si la p-valeur est inférieure à un seuil de signification (par exemple, 0.05), on peut rejeter l’hypothèse nulle et conclure que les autocorrélations ne sont pas nulles jusqu’au retard (K), ce qui suggère une dépendance temporelle significative dans la série.
Test ARCH d’Engle:
Le test ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) d’Engle, également connu sous le nom de test d’Engle pour l’hétéroscédasticité conditionnelle, est utilisé pour détecter la présence d’hétéroscédasticité conditionnelle dans une série temporelle financière ou économique. L’hétéroscédasticité conditionnelle signifie que la volatilité des données n’est pas constante au fil du temps, mais varie de manière systématique en réponse aux conditions du marché ou à d’autres facteurs.
Imaginons que nous ayons \(\epsilon_t\) en tant que résidu du modèle ARMA(p,q) représentant l’équation de la moyenne conditionnelle de \(r_t\), tandis que \(e\) correspond aux résidus liés à son estimation. Dans ce contexte, le modèle ARCH(m), qui décrit la variation de la volatilité de \(r_t\), est formulé comme suit :
\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1\epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2\epsilon_{t-2}^2 + ... + \alpha_m\epsilon_{t-m}^2\]
L’hypothèse nulle, notée \(H_0\), stipule que \(\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_m = 0\), ce qui implique que la volatilité est homoscédastique conditionnellement, c’est-à-dire qu’elle ne varie pas systématiquement en réponse aux changements dans les résidus. En revanche, l’hypothèse alternative (\(Ha\)) suggère qu’au moins l’un des coefficients \(\alpha_i\) est différent de zéro, avec \(i\) différent de zéro. Cela indiquerait la présence d’hétéroscédasticité conditionnelle, c’est-à-dire une variation systématique de la volatilité en réponse aux résidus.
Pour calculer la statistique de test, on estime les coefficients à l’aide de la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO) selon l’équation précente. Ensuite, on multiplie le coefficient de détermination (\(R^2\)) de cette régression par le nombre d’observations (\(N\)) pour obtenir la statistique de test \(LM = N \times R^2\). Sous l’hypothèse nulle (\(H_0\)), cette statistique \(LM\) suit une distribution chi-carrée avec \(m\) degrés de liberté (\(LM \sim \chi^2(m)\)).
L’équation précédente illustre que les erreurs \(e^2_t\) sont modélisées comme une combinaison linéaire des termes \(e^2_{t-1}\), \(e^2_{t-2}\), …, \(e^2_{t-p}\), avec des coefficients \(c_1\), \(c_2\), \(\ldots\), \(c_p\). En utilisant la fonction ArchTest(,) en R pour la variable rte, si l’hypothèse nulle d’homoscédasticité conditionnelle est rejetée, cela indique la présence d’hétéroscédasticité conditionnelle dans les données.
Cette procédure permet de déterminer si la volatilité conditionnelle est un aspect significatif de la série temporelle, ce qui peut avoir des implications importantes.
Test de Nyblom:
\(H_0\) : Stabilités des coefficients dans le temps
\(H_a\) : Au moins un des coefficients n’est pas stable dans le temps
Sign Bias Test (Engle et Ng 1993):
Le Sign Bias Test repose sur l’équation suivante :
\[\tilde{v}_t^2 = c_0 + c_1 I_{\tilde{v}_{t-1} < 0} + c_2 I_{\tilde{v}_{t-1} < 0} \tilde{v}_{t-1} + c_3 I_{\tilde{v}_{t-1} \geq 0} \tilde{v}_{t-1} + u_t\]
où \(I\) est une fonction indicatrice évaluée à 1 si la condition en indice est satisfaite. Ce test comporte quatre hypothèses nulles : la nullité de chaque \(c_i\) pour \(i=1,2,3\) et la nullité conjointe des trois (effet conjoint).
Si \(c_1\) est significativement différent de 0, cela suggère un effet de signe (un choc \(< 0\) et un choc \(> 0\) ont un impact différencié sur la volatilité). Dans R, ce test est appelé le Sign Bias et \(H_0\) est l’absence d’effet de signe.
Si \(c_2\) est significativement différent de 0, il existe un effet de taille d’un choc négatif, indiquant que les chocs \(< 0\) de petite et grande amplitude n’ont pas le même impact sur la volatilité. Dans R, ce test est appelé le Negative Sign Bias et \(H_0\) est l’absence d’effet de taille d’un choc \(< 0\).
Si \(c_3\) est significativement différent de 0, il existe un effet de taille d’un choc positif, indiquant que les chocs \(> 0\) de petite et grande amplitude n’ont pas le même impact sur la volatilité. Dans R, ce test est appelé le Positive Sign Bias et \(H_0\) est l’absence d’effet de taille d’un choc \(> 0\).
Si les trois coefficients sont significatifs, il existe à la fois un effet de signe et un effet de taille pour les deux chocs. Dans R, ce test est appelé l’Effet Conjugué et \(H_0\) est l’absence d’effet de signe et d’effet de taille.
On commence par examiner la p-value de la statistique conjointe (joint effect). Sa p-value (\(9.219 \times 10^{-05} < 0.05\)) nous conduit à rejeter l’hypothèse nulle, indiquant qu’il y a soit l’un des deux effets, soit les deux. En observant la p-value de la statistique du signe du biais (\(0.0176 < 0.05\)), nous rejetons \(H_0\), suggérant qu’un choc positif a un impact différent sur la volatilité des rendements par rapport à un choc négatif. En ce qui concerne les p-values des statistiques liées aux effets de taille, il n’y a pas d’effet de taille, que ce soit pour un choc positif ou négatif, au seuil de risque de 5%.
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
Enfin, le test d’ajustement de Pearson à la bonté de l’ajustement permet de vérifier l’adéquation entre la distribution supposée dans la spécification (distribution.model) et la distribution empirique des résidus standardisés. L’hypothèse nulle stipule que les deux distributions sont conformes.
Test de Kupiec:
\(H_0\) : Taux de violation théorique \(5%\) = Taux de violation empirique
\(H_a\) : Taux de violation théorique \(5%\) \(\neq\) Taux de violation empirique
Test de Christoffersen:
Ce test ne tient pas compte des potentielles violations de l’hypothèse d’indépendance des fonctions de Hit. En revanche, le test de couverture conditionnelle de Christoffersen et al. (2001) remédie à ce problème en évaluant simultanément la fréquence et l’indépendance des fonctions de Hit par rapport aux autres variables incluses dans l’ensemble d’information.
\(H_0\) : Taux de violation théorique \(5%\) = Taux de violation empirique et l’indépendance des violations
\(H_a\) : Taux de violation théorique \(5%\) \(\neq\) Taux de violation empirique et l’indépendance des violations
E) D’autres VaR Conditionnelle :
Notons que cette partie ne doit pas être utilisé pour le choix de notre modèle d’évaluation de la VaR finale. Car se fier aux résultats du backtesting pour choisir le modèle d’évaluation de la VaR finale présente des risques importants. Cela peut conduire à un surajustement aux données passées, ne pas prendre en compte l’évolution des marchés, et dépendre d’hypothèses qui pourraient ne plus être valides dans des conditions de marché différentes. Pour garantir la robustesse du modèle, il est essentiel d’adopter une approche holistique, intégrant la validation hors échantillon de test de notre modèle.
a) IGARCH(1,1) ~ nig:
Le modèle IGARCH est défini en annexe ici.
Le modèle suivant est estimé ici.
| Violation Estimée | Violation théorique | PV Kupiec | PV Christoffersen | |
|---|---|---|---|---|
| VaR IGARCH(1,1) ~ nig | 83 | 73.4 | 0.257 | 0.175 |
La VaR de notre modèle IGARCH présente un taux de violation de 5,7%. Nous avons donc ici sous-évalué la VaR de 0,7%. La p-value est supérieure à 0,05 dans le cadre du test de Kupiec. Ainsi, nous acceptons l’hypothèse nulle, indiquant que la VaR est bien estimée. De même, la p-value est supérieure à 0,05 dans le cadre du test de Christoffersen. Nous acceptons donc l’hypothèse nulle, confirmant que la VaR est bien estimée et que les violations sont indépendantes.
b) GJR-GARCH(0,1) ~ std :
Le modèle IGARCH est défini en annexe ici.
Le modèle suivant est estimé ici.
| Violation Estimée | Violation théorique | PV Kupiec | PV Christoffersen | |
|---|---|---|---|---|
| VaR GJR_GARCH(0,1) ~ std | 91 | 73.4 | 0.041 | 0.047 |
La VaR de notre modèle GJR_GARCH présente un taux de violation de 6,2%. Nous avons donc sous-évalué la VaR de 1,2%. La p-value est inférieure à 0,05 dans le cadre du test de Kupiec. Ainsi, nous rejetons H0, indiquant que la VaR n’est pas bien estimée. De même, la p-value est inférieure à 0,05 dans le cadre du test de Christoffersen, conduisant également au rejet de H0. La VaR n’est donc une fois de plus pas bien estimée selon ce test.
Bibliographie :
Cours de Madame Marie Lebreton
https://www.unitedhealthgroup.com
https://en.wikipedia.org/wiki/UnitedHealth_Group
Time Series Analysis and Its Applications With R Examples (Springer Texts in Statistics) - Robert H. Shumway, David S. Stoffer